নবম-দশম শ্রেণি – পদার্থবিজ্ঞান – দ্বিতীয় অধ্যায়: গতি (গাণিতিক অংশ)

This entry is part 3 of 6 in the series এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান

শুরুতে আমাদের কিছু প্রতীকের সাথে পরিচিত হতে হবে, যা আমরা গাণিতিক সূত্রগুলো প্রকাশের জন্য ব্যবহার করব। এই অধ্যায়ের জন্য আমাদের যে প্রতীকগুলো দরকার হবে-

ত্বরণ থাকলে,
আদিবেগ (যাত্রা শুরুতে বেগ), u
শেষবেগ (যাত্রা শেষে বেগ), v
গড়বেগ, V

সমবেগে চললে,
সমবেগ, v

সরণ, s
ত্বরণ, a
সময়, t

লক্ষ্য কর, আমি কোন ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করিনি। কারণ তোমাদের শ্রেণিতে বাস্তবিক অর্থে ভেক্টর নিয়ে কাজ করা হয় না। শুধু ভেক্টরের ক্ষেত্রে যাত্রাপথের সরলরৈখিক দৈর্ঘ্য ও স্কেলারের ক্ষেত্রে মোট দৈর্ঘ্য নিতে হবে এবং ভেক্টরের বেলায় বেগ, সরণ আর স্কেলারের বেলায় দ্রুতি, দূরত্ব কথাগুলো ব্যবহার হবে। প্রতীক একটি থাকবে।

আরেকটি বিষয়, এই অধ্যায়ে আমরা মূলত ৫টা রাশি নিয়ে কাজ করি। আদিবেগ, শেষবেগ, সরণ, ত্বরণ ও সময়। সমবেগে চলার ক্ষেত্রে ত্বরণের মান ০ হয়, আর আদিবেগ ও শেষবেগ সমান হয়ে যায়, যেটাকে সমবেগ বলছি। তো এই ৫টা রাশি এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যে যেকোন ৩টা জানা থাকলে বাকি ২টা নির্ণয় করা যায়। এজন্য আমরা কিছু সূত্র ব্যবহার করি, যেগুলো আমরা এখানে দেখতে চলেছি।

তার আগে প্রতীকের ব্যবহার বোঝার জন্য একটা উদাহরণ দেয়া যাক। একটা গাড়ি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে 2 ms-2 সমত্বরণে 2.5 ms-1 গড়বেগে ৫ সেকেন্ড সময়ে 25 m দূরত্ব অতিক্রম করে 10 ms-1 বেগে উপনীত হলো। তাহলে,
আদিবেগ, u = 0 (যেহেতু শুরুতে স্থির ছিলো)
শেষবেগ, v = 10 ms-1
গড়বেগ, V = 2.5 ms-1
সরণ, s = 25 m
ত্বরণ, a = 2 ms-2
সময়, t = 5 s

এখন আমরা পর্যায়ক্রমে সূত্রগুলো দেখবো। সৃজনশীল পদ্ধতিতে সূত্রের প্রতিপাদন সাধারণভাবে পরীক্ষায় দেয়া হয় না, তবে যদি সূত্রগুলো কীভাবে এসেছে তা না বোঝো, তাহলে তোমার কনসেপ্টে বড় ঘাটতি যেমন থেকে যাবে, তেমনি পদার্থবিজ্ঞান পড়ায় যে আনন্দ থাকতে পারে, তা তুমি উপলদ্ধি করতে পারবে না।

সমবেগে ও গড়বেগে চলমান বস্তুর t সময়ে সরণ নির্ণয়:
ধরি,
কোন বস্তু v সমবেগে চলছে
তাহলে, 1 একক সময়ে সরণ = v
t একক সময়ে সরণ, s = vt
(পাশাপাশি চিহ্ন ছাড়া একাধিক রাশি থাকলে তারা গুণ আকারে আছে নির্দেশ করে। অর্থাৎ, vt অর্থ v × t)
একইভাবে, V গড়বেগে চলার ক্ষেত্রে, s = Vt

সমত্বরণে চলমান বস্তুর t সময় পর বেগ নির্ণয়:
ধরি,
কোন বস্তু u আদিবেগ থেকে a সমত্বরণে চলতে শুরু করলো।
এখানে একক সময়ে বেগ বৃদ্ধি a
তাহলে, t সময়ে বেগ বৃদ্ধি = at
তাহলে, t সময় পর বেগ v = u + at

সমত্বরণে চলমান বস্তুর t সময়ে গড়বেগ নির্ণয়:
যাত্রা শুরুতে বেগ, u
t সময় যাত্রা শেষে বেগ, v = u + at

সমত্বরণে চলার ক্ষেত্রে বেগ সুষমভাবে বৃদ্ধি পায়। একারণে যাত্রা শুরুর বেগ ও যাত্রা শেষের বেগের গড় নির্ণয় করলে সম্পূর্ণ যাত্রাপথের গড়বেগ পাওয়া যাবে।

তাহলে গড়বেগ, V = (u + v)/2 = [u + (u + at)]/2 বা, V = u + ½ at

সমত্বরণে চলমান বস্তুর t সময়ে সরণ নির্ণয়:
আমরা দেখে এসেছি, V গড়বেগে চলার ক্ষেত্রে, s = Vt
এবং আমরা আরো দেখেছি সমত্বরণে চলমান বস্তুর গড়বেগ, V = u + ½ at
তাহলে V এর মান s = Vt তে বসিয়ে পাবো,
s = (u + ½ at) x t
বা, s = ut + ½ at2

সমত্বরণে চলমান বস্তুর ক্ষেত্রে সময়বিহীন সূত্র:
আমরা বলছিলাম যেকোন তিনটি রাশি জানা থাকলে চতুর্থ ও পঞ্চম রাশি বের করা যায়।
আগের সবগুলো সূত্রে সময় রাশিটি রয়েছে। কোন অঙ্কে যদি সময় নিয়ে কাজ করার প্রয়োজন না থাকে, সেক্ষেত্রে ব্যবহারের জন্য আমরা পূর্বে আলোচিত সূত্রগুলো থেকে আরেকটি সূত্র নিয়ে আসতে পারি।

v = u + at
=> v2 = u2 + 2uat + a2t2 [বর্গ করে]
=> v2 = u2 + 2a(ut + ½ at2 )
v2 = u2 + 2as

প্রথম অধ্যায়ের আলোচনার সময় আমরা মাত্রা সমীকরণের কথা বলেছিলাম, মনে আছে? এখন পর্যন্ত আলোচিত প্রতিটি সমীকরণ তুমি যাচাই করে দেখতে পারো, অবশ্যই মাত্রা সমীকরণকে সিদ্ধ তথা জাস্টিফাই করবে। সংশ্লিষ্ট মাত্রাগুলো – [সরণ] = L, [সময়] = T, [বেগ] = LT-1, [ত্বরণ] = LT-2

আমরা বলেছিলাম শুধুমাত্র সমমাত্রার রাশির মধ্যে যোগ-বিয়োগ সম্ভব। তো v2 = u2 + 2as সূত্রের বেলায় এটা দেখা যাক।
v2 এর মাত্রা = (LT-1)2 = L2T-2
u2 এর মাত্রা = (LT-1)2 = L2T-2
2as এর মাত্রা = a এর মাত্রা × s এর মাত্রা = LT-2 × L = L2T-2
অর্থাৎ, প্রত্যেকের মাত্রা একই হওয়াতে এটা মাত্রা সমীকরণকে জাস্টিফাই করছে।

সর্বাধিক প্রয়োজনীয় সূত্র:
1. s = vt বা s = Vt
2. v = u + at
3. s = ut + ½ at2
4. v2 = u2 +2as

এখন একটা অঙ্ক দেখা যাক, একটা গাড়ি পশ্চিম দিকে 25 ms-1 বেগে যাচ্ছে এবং পূর্ব দিকে এর ত্বরণ 5 ms-2। কত সময় পর গাড়িটির বেগ পূর্ব দিকে 35 ms-1 হবে?

এই প্রশ্নের মাধ্যমে তোমাদের একটা কনসেপ্ট আমি ক্লিয়ার করতে চাচ্ছি। এখানে দিক নিয়ে আমাদের শুধু এটুকু জানতে হবে যে, পরস্পর বিপরীত দিকে চললে একটাকে আমরা ধনাত্মক বা পজিটিভ ধরব, অন্যটা ঋণাত্মক বা নেগেটিভ।

যদি আমি ধরি আদিবেগ, u = 25 ms-1
তাহলে ত্বরণ ও শেষবেগ এর বিপরীত দিকে, অর্থাৎ,
ত্বরণ, a = – 5 ms-1
শেষবেগ, v = -35 ms-2
নির্ণয় করতে হবে, সময় t

এখন আমার জানা সূত্রগুলোর মধ্যে u, v, a ও t এর সমন্বয়ে যে সূত্রটি আছে, তা ব্যবহার করলে এই অঙ্কটা সবচেয়ে সহজে করা যাবে। অর্থাৎ,
v = u + at
বা, -35 ms-1 = 25 ms-1 + (-5 ms-2) t
বা, 5 ms-2 t = 25 ms-1 + 35 ms-1
বা, t = 12 s

নিয়ম অনুযায়ী সমীকরণ সমাধানের সময় প্রতিটা রাশির সাথেই একক উল্লেখ করার কথা, যেমনটা ওপরে করা হয়েছে। পদার্থবিজ্ঞানে কিন্তু আমরা সংখ্যার সাথে এককেরও যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করি- প্রথম অধ্যায়ের আলোচনায় এই বিষয়গুলো আনা হয়েছিলো। তবে এমন নয় যে জীবনে আমরা সব নিয়ম মেনে চলি, প্রতিবার একক লেখাটা বেশ সময়সাপেক্ষ, অনেকসময় কনফিউজিং হয়ে যায়, তাই তুমি শুধু শেষ লাইনে একক লিখতে পারো।

লেখচিত্র

সাধারণত লেখচিত্রে স্বাধীন চলককে X অক্ষ ও অধীন চলককে Y অক্ষে নেয়া হয়। তাত্ত্বিক সংজ্ঞায় যাচ্ছি না, সাধারণভাবে বললে, স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে আমরা অধীন চলকের মান নির্ণয় করি। যেমন অঙ্কে তোমরা x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করেছ, তখন x ছিলো স্বাধীন চলক, y অধীন চলক। গতি সংক্রান্ত ক্ষেত্রে সাধারণত স্বাধীন চলক হয় সময় এবং অধীন চলক হয় বেগ বা সরণ প্রভৃতি।

ওপরে বিভিন্ন শর্তে বেগ বনাম সময় লেখচিত্র দেখানো হয়েছে। অন্য দুটি রাশির মধ্যেও একই সম্পর্ক, অর্থাৎ ধ্রুব, সমানুপাতিক, ব্যস্তানুপাতিক প্রভৃতি শর্তগুলোতে লেখচিত্র অনুরূপ হয়। আরেকটা জিনিস খেয়াল কর, এখানে ঢাল ধনাত্মক হলে ত্বরণ ও ঋণাত্মক হলে মন্দন নির্দেশ করে। যেহেতু বেগ (বা গড়বেগ) ও সময়ের গুণফল-ই সরণ, তাই বেগ-সময় লেখচিত্রের ক্ষেত্রফল থেকে সরণ পাওয়া যায়।

যেমন ওপরের লেখচিত্রে,
প্রথম সেকেন্ডে সরণ s1 = ½ × 1 × 2 = 1 m
প্রথম সেকেন্ড থেকে তৃতীয় সেকেন্ডে সরণ, s2 = 2 × 2 = 4 m
তৃতীয় সেকেন্ড থেকে চতুর্থ সেকেন্ডে সরণ s3 = ½ × 1 × 2 = 1 m
অর্থাৎ, মোট সরণ, s = s1 + s2 + s3 = 6 m

পড়ন্ত বস্তুর সূত্র

পড়ন্ত বস্তুর জন্য গ্যালিলিও তিনটি সূত্র দিয়েছেন, সূত্রগুলো হলো-

বাস্তব জীবনে আমরা একটা পাথর আর পালক একসাথে ছেড়ে দিলে পাথরটি আগে পড়তে দেখি। কারণ যখন বাতাস বা এধরণের বাধা থাকে, তখন তা সব ধরণের বস্তুর ওপর সমানভাবে ক্রিয়া করে না। গ্যালিলিওর এই সূত্রগুলো শুধু তখনই প্রযোজ্য যখন স্থির অবস্থান থেকে বস্তু বিনা বাধায় পড়বে।

ইতোমধ্যে আমরা যে সূত্রগুলো আলোচনা করেছি, তা পড়ন্ত বস্তুর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। তবে এখানে ত্বরণের মান হবে অভিকর্ষজ ত্বরণ g = 9.8 ms-1 এবং সরণ s এর পরিবর্তে ব্যবহার হবে উচ্চতা h।

পড়ন্ত বস্তুর সূত্র:
1. v = u + gt
2. h = ut + ½ gt2
3. v2 = u2 +2gh

এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে পড়ন্ত বস্তুর আরো কিছু সূত্র পাওয়া যাবে। যা এখানে দেখানো হয়েছে-

H উচ্চতা হলো সর্বোচ্চ উচ্চতা। বস্তুর বেগ শুরুতে u ছিলো, যা ছিলো ওপরের দিকে, অন্যদিকে g কাজ করেছে নিচের দিকে। তাই উত্থানকাল ও সর্বোচ্চ উচ্চতার অঙ্কে g এর সাথে – চিহ্ন ব্যবহার হয়েছে। বেগ শুরুতে u ছিলো, তা কমতে কমতে সর্বোচ্চ উচ্চতায় 0 হয়। এরপর পতনের সময় 0 থেকে আবার বাড়তে থাকে (কারণ পতনের সময় বেগ আর অভিকর্ষজ ত্বরণ দুটোই নিচের দিকে) এবং যে বিন্দুতে ছুঁড়ে দেয়া হয়েছিলো সেখানে এসে ছুঁড়ে দেয়ার সময়ের বেগে উপনীত হয়।
তাহলে ভূমি থেকে u বেগে বস্তুকে সোজা ওপরে ছুঁড়ে দিলে-
উত্থানের সময়- আদিবেগ u, শেষবেগ v = 0, ত্বরণ = -g
পতনের সময়- আদিবেগ 0, শেষবেগ v = u, ত্বরণ = g

একটা অঙ্ক দেখা যাক: একটা বস্তুকে 100 m উঁচু দালান থেকে 10 ms-1 বেগে ওপরের দিকে ছুঁড়ে দেয়া হলো। কত সময় পর কত বেগে এটি ভূমিতে পড়বে?

দেখতেই পাচ্ছ, অঙ্কে একটা ছোট্ট চালাকি আছে। আমি বস্তুটা ছুঁড়ে দিয়েছি ওপরের দিকে, কিন্তু জানতে চাইছি নিচে পড়ার কথা। বুঝতে পারছো কি এখানে কী করতে হবে? এখানে আমার দালানের উচ্চতা অতিক্রম হবে নিচের দিকে, অভিকর্ষজ ত্বরণ নিচের দিকে, শেষবেগ নিচের দিকে কিন্তু আদিবেগ ওপরের দিকে। তাহলে দেখো, আদিবেগকে ঋণাত্মক ও বাকিগুলোকে ধনাত্মক ধরলেই কিন্তু সহজেই অঙ্কটা হয়ে যাবে।

প্রথমে আমি h = ut + ½ gt2 ব্যবহার করে সময় নির্ণয় করছি।
100 = (-10) t + ½ × 9.8 t2
বা, 4.9 t2 – 10 t – 100 = 0

সমাধান করলে t এর দুটো মান পাবো, t = 5.65 s অথবা t = -3.61 s
অবশ্যই এখানে সময়ের ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য না। তাহলে, t = 5.65 s

তবে তোমরা চিন্তা করতে পারো, অঙ্কের সব নিয়ম মেনে t = -3.61 s উত্তরটা কেন আসলো? এর মানে হলো যদি t = 0 হিসেব শুরু করার আগে থেকে বস্তুটা গতিশীল থাকতো এবং এই সময়কাল g = 9.8 ms-2 ক্রিয়ারত হয়ে -5 ms-1 বেগ থাকা অবস্থায় 100 m উচ্চতায় উঠতো তাহলে যখন t = 0 ধরা হচ্ছে তার 3.61 সেকেন্ড আগে বস্তুটা ভূমিতে থাকার কথা ছিলো। পদার্থবিজ্ঞানে কিন্তু এরকম অনেক চিন্তার খোরাক তুমি পাবে, চিন্তা কর, পদার্থবিজ্ঞানের আনন্দটা সম্ভবত এখানেই রয়েছে।

t এর মান জানার পর আমরা সহজেই v এর মান বের করতে পারি।
v = u + gt
বা, v = -10 + 9.8 × 5.65
বা, v = 45.37 ms-1

তুমি চাইলে v2 = u2 +2gh সূত্র থেকে আগে v বের করে এরপর v = u + gt ব্যবহার করে t বের করতে পারতে। কোন সমস্যা নেই এবং উত্তর একই থাকবে।

সাধারণ প্রশ্ন

বেশ চমৎকার কিছু প্রশ্ন। প্রথম প্রশ্নটার একটা চমৎকার উদাহরণ কিন্তু এরমধ্যেই আলোচনা হয়ে গেছে, খেয়াল করেছ কি? সোজা ওপরে ছুঁড়ে দেয়া বস্তু সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছালে বেগ সেই মুহুর্তে ০ থাকে, কিন্তু অভিকর্ষজ ত্বরণ g কিন্তু পুরো যাত্রাপথেই বজায় থাকে।
দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তরও তাত্ত্বিক অংশে আলোচনা করে আসা হয়েছে যে আঁকাবাকা বা বৃত্তাকার পথে সুষম দ্রুতিতে চলা সম্ভব, কিন্তু সুষম বেগে চলা সম্ভব না।
তৃতীয় প্রশ্নের বেলায় আমরা জানি যে, v2 = u2 + 2gh। u = 0 বলে, v = √(2gh)। উভয়ক্ষেত্রে উচ্চতা সমান, বলে √(2h) এর মান একই। তাহলে দেখতে পাচ্ছি একই উচ্চতা থেকে স্থির অবস্থা থেকে পড়ন্ত বস্তুর বেলায় v ∝ √g। তাহলে না, ৬ গুণ কম বেগে আঘাত করবে না, বরং বেগ হবে √6 গুণ কম তথা √6 ভাগের 1 ভাগ। তবে যদি উচ্চতার শর্ত না থেকে সমান সময়ের শর্ত থাকতো, তাহলে কিন্তু ৬ গুণ কম বেগে আঘাত করত।
চার নাম্বার প্রশ্নটার উত্তর প্রথমে মনে হতে পারে, না। এরকম জায়গা কীভাবেই বা সম্ভব? তবে আসলে কিন্তু এর উত্তর হ্যা। জায়গাটা হলো পৃথিবীর উত্তর মেরুর সর্ব উত্তর বিন্দু। চিন্তা কর, তুমি যখন সবচেয়ে উত্তর বিন্দুতে আছো, সেখান থেকে সবদিকই কিন্তু দক্ষিণ দিক। তো যেকোন দিকে সরলরৈখিক পথে 1 km আসা মানেই দক্ষিণে 1 km আসা। এরপর পূর্ব-পশ্চিমে 1 km বা যতখানিই যাও না কেন উত্তর মেরুর দূরত্ব 1 km-ই থাকবে। নিচে ছবিতে দেখে নিও।
পাঁচ নং প্রশ্নের ক্ষেত্রে উত্তর সহজ, না। s = ut + ½ at2, এখানে s ও t এর মধ্যে সম্পর্ক সমানুপাতিক নয়। যদি u = 0 হয়, তাহলে s = ½ at2। সমত্বরণ মানে a ধ্রুব, তাহলে s ∝ t2। অর্থাৎ, সময় দ্বিগুণ হলে দূরত্ব ৪ গুণ হত যদি u = 0 হয়।

গাণিতিক প্রশ্ন

প্রথম সমস্যাটা গ্রাফ থেকে বোঝা সহজ। নিচের গ্রাফে দেখা যাচ্ছে বর্তমান অবস্থান বিন্দু উত্তর দিক বরাবর 20 km ও পূর্ব দিক বরাবর 20 km। পীথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে সরলরৈখিক দূরত্ব পাওয়া যাবে, যা হবে √(202+202) km = 28.284 km

২য় প্রশ্নে আসলে t=0 তে বেগ শূন্য, এরপর সবসময় বেগের একটি ধনাত্মক মান রয়েছে, অর্থাৎ বেগ পুরো সময়ে পজিটিভ। OA এবং AB অংশে বেগের মান বৃদ্ধি হচ্ছে, তাই ত্বরণ পজিটিভ। তবে OA-তে এটা সুষম বৃদ্ধি বা সুষম ত্বরণ এবং AB-অংশে অসম ত্বরণ। BC অংশে বেগের পরিবর্তন নেই, তাই ত্বরণ শূন্য। CD অংশে বেগ হ্রাস পাচ্ছে, অর্থাৎ ত্বরণ নেগেটিভ (এবং অসম)।

৩য় প্রশ্নে আসি। টেকনিকালি সরণ-সময় লেখচিত্র আর অবস্থান-সময় লেখচিত্র পুরোপুরি এক না। তবে অবস্থানের পরিবর্তন যেহেতু সরণ নির্দেশ করে, তাই সরণ-সময় লেখচিত্রের মত করেই এটাকে চিন্তা করা যাবে। অর্থাৎ, লেখচিত্রের ঢাল থেকে বেগ পাওয়া যাবে।

OA অংশে অবস্থানের পরিবর্তনের হার সুষম, তথা ধ্রুব বেগ এবং তা পজিটিভ। এরপর AB অংশে অবস্থানের পরিবর্তন হচ্ছে, তবে প্রথমে দেখা যাচ্ছে ঢাল তথা বেগ ক্রমশ কমছে অর্থাৎ, ত্বরণ নেগেটিভ। তবে অবস্থানের পরিবর্তন কিন্তু পজিটিভ দিকেই হচ্ছে, অর্থাৎ, বেগ পজিটিভ। BC অংশে বস্তু একই অবস্থানে তথা স্থির, তাই বেগ শূন্য, ত্বরণ শূন্য। CD অংশে ঢাল ঋণাত্মক, অর্থাৎ বেগ নেগেটিভ। তবে ত্বরণ কিন্তু পজিটিভ, কারণ শুরুতে নেগেটিভ ঢাল বা নেগেটিভ বেগ বেশি ছিলো, এরপর নেগেটিভ ঢাল কিন্তু কমছে যা পজিটিভ ত্বরণ নির্দেশ করে।

চতুর্থ প্রশ্নে আমাদের এককের মধ্যে সামঞ্জস্যতা নিয়ে আসতে হবে। আমি সব দৈর্ঘ্যকে km ও সময়কে h-এ রাখছি।

আদিবেগ u = 30 kmh-1
শেষবেগ v = 50 kmh-1
সময় t = 1 m = 0.01667 h
অতিক্রান্ত দূরত্ব s = ?

আমরা জানি ত্বরণ হলো বেগের পরিবর্তনের হার। অর্থাৎ,
a = বেগের পরিবর্তন / সময় = (v-u) / t = (50 – 30) / 0.01667 = 1200 km
(v = u + at সূত্র থেকেও এটা আসে)

এখন,
s = ut + ½ at2
বা, s = 30 × 0.01667 + ½ × 1200 × 0.016672
বা, s = 0.667 km

পঞ্চম প্রশ্ন, উত্থানকাল ও সর্বোচ্চ উচ্চতার জন্য সরাসরি সূত্র দেখেছি আমরা। অবশ্যই এটা আমি করছি না।

বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

১, ২, ৩ নিয়ে কিছু বলার প্রয়োজন দেখছি না। ৫ নং-এর উত্তর গ, যেহেতু এটা সুষম ত্বরণে পড়বে। ৪ নাম্বার প্রশ্নে (ii) আমরা সরাসরি সূত্র হিসেবে পড়েছি। (i) নং-এ s = Vt তে V = (u+v)/2 বসালে চলে আসবে, মানে এটাও সঠিক। তবে (iii) নং কিন্তু মাত্রা সমীকরণের লিটমাস টেস্টে ধরা পড়ে যাবে যে এটা কোনভাবেই সম্ভব নয়। তাই সঠিক উত্তর হওয়া উচিৎ (i) ও (ii)। যদিও অপশনটা দেয়া হয়নি, হোপফুলি পরীক্ষার প্রশ্নে এরকম হলে অটোমার্ক পেয়ে যাবে।

সৃজনশীল প্রশ্ন

১ নং-এর (খ)-এর ক্ষেত্রে বস্তুটির দ্রুতি ধ্রুব হতেও পারে, না-ও পারে, তবে দিকের পরিবর্তনের কারণে সবসময়ই বেগ পরিবর্তনশীল অর্থাৎ, সর্বাবস্থায় এর ত্বরণ থাকবে, এটা ব্যাখ্যা করতে হবে। (গ) ও (ঘ) এর বেলায় আদিবেগ 0 হবে, কারণ মাইক্রোবাস অবশ্যই স্থির অবস্থান থেকে রওনা হয়েছে। তুমি ধরে নিবে বেগের পরিবর্তনগুলো সুষমভাবে হয়েছে, অর্থাৎ প্রথম 15 মিনিট সুষম ত্বরণ, পরের 10 মিনিট সমবেগ, পরের 10 মিনিট গাড়িটি সুষম মন্দনে চলেছে।

২ নং প্রশ্নের (খ) এর উত্তরে অভিকর্ষ বল ও অভিকর্ষজ ত্বরণের ধারণা ব্যাখ্যা করতে হবে। তবে এখানে আরেকটা পয়েন্ট আছে, তা হলো পৃথিবীপৃষ্ঠের কাছাকাছি অভিকর্ষজ ত্বরণ সুষম, তবে অনেক বেশি উচ্চতায় উঠলে এর মান কমতে থাকে, যেহেতু এটা দূরত্বের ওপর নির্ভর করে। এটাও উল্লেখ করা ভালো।

(গ)-তে একটা মাইনর টাইপিং মিসটেক আছে, টেবিলে V নয়, v হওয়ার কথা ছিলো। উত্তর বের করা একদমই সহজ s = Vt = [(u+v)/2] × t ব্যবহার করতে হবে।

(ঘ)-নং প্রশ্নে আমরা জানি, v = u + at = 5 + 3 × 4 = 17 ms-1। কিন্তু টেবিলে আছে v = 20 ms-1। অর্থাৎ, তথ্যগুলো সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। কাজেই গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে বলা যায় ঘটনাটি সম্ভব নয়।

আরো প্রশ্ন

1. একটি গাড়ি স্থির অবস্থান থেকে প্রথমে 4 ms-1 সমত্বরণে যাত্রা করে 20 ms-1 বেগ প্রাপ্ত হলো। পরবর্তী 40 m গাড়িটি সমবেগে চললো। এরপর 10 s-এ গাড়িটি সমমন্দনে চলে স্থির হলো। মোট সরণ কত? মোট কত সময় গাড়িটি যাত্রা করে?

এই প্রশ্নটা একদমই সহজ। এখানে যেহেতু তিনটি অংশ আছে, প্রতীকগুলোকে চিহ্নিত করতে আমরা সাবস্ক্রিপ্ট আকারে 1, 2, 3 যুক্ত করতে পারি।

প্রথম ক্ষেত্রে,
v1 = u1 + a1t1
বা, 20 = 0 + 4t1
বা, t1 = 5 s
এবং
s1 = u1t1 + ½ a1t12
বা, s1 = 0 + ½ x 4 x 52
বা, s1 = 50 m

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,
s2 = 40 m
এবং
s2 = v2t2
বা, 40 = 20 × t2
বা, t2 = 2 s

তৃতীয় ক্ষেত্রে,
t3 = 10 s
এবং
s3 = Vt = [(u+v)/2] × t3 = [(0+20)/2] × 10 = 100 m

তাহলে,
মোট সরণ, s = 50 m + 40 m + 100 m = 190 m
যাত্রার মোট সময় = 5 s + 2 s + 10 s = 17 s

2. প্রতি তলা 3 m উচ্চতার ১২ তলা দালানের ছাদ থেকে ওপরের দিকে একটি বল 10 ms-1 ছুঁড়ে দেয়া হলো। ১ সেকেন্ড পরে তৃতীয় তলা থেকে 60 ms-1 বেগে অপর একটি বল ওপরের দিকে ছোঁড়া হলো। বল দুটি মিলিত হবে কী? হলে কত সময় পর?

প্রশ্নটা একটু ক্রিটিকাল। আমি প্রথমে ধরে নিই তারা মিলিত হবে। কখন এবং কোথায় মিলিত হবে? প্রথম বল ছোঁড়ার t সেকেন্ড পর ভূমি থেকে h উচ্চতায়। এটা আমি ধরে নিলাম।

এখন দালানের উচ্চতা 3*12 m = 36 m। ভূমি থেকে তৃতীয় তলার উচ্চতা 2 × 3 m = 6 m।

শর্ত অনুযায়ী আদিতে প্রথম বল 30 m উচ্চতায় ছিলো এবং t সময়ে প্রথম বলের অবস্থান হবে ভূমি থেকে h উচ্চতায়, অর্থাৎ, তাকে (30 m – h) উচ্চতা নামতে হবে t সময়ে। দ্বিতীয় বলের বেলায় তবে যেহেতু ১ সেকেন্ড পরে এর যাত্রা শুরু, তাই একে (h – 6 m) উচ্চতায় উঠতে হবে (t – 1 s) সময়ে।

তো প্রথম বলের ক্ষেত্রে,
30 – h = (-10) t + ½ × 9.8 × t2
[h = ut + ½ gt2 সূত্র থেকে, ওপরের দিকে ছোঁড়ায় u ঋণাত্মক হয়েছে]
বা, h = -4.9 t2 + 10 t + 30 … (i)

দ্বিতীয় বলের ক্ষেত্রে,
h – 6 = 60 t – ½ × 9.8 × (t-1)2 = 60 t – 4.9 (t2 – 2t +1) = -4.9 t2 + 69.8 t – 4.9
বা, h = -4.9 t2 + 69.8 t + 1.1 … (ii)

(i) ও (ii) থেকে,
-4.9 t2 + 10 t + 30 = -4.9 t2 + 69.8 t + 1.1
বা, 59.8t = 28.9
বা, t = 0.483 s

এখন, (i) থেকে,
h = 33.6869 m

অর্থাৎ, প্রথম বস্তু ছোঁড়ার 0.483 s পর ভূমি থেকে 33.6869 m উচ্চতায় বস্তুদুটি মিলিত হবে।

Series Navigation<< নবম-দশম শ্রেণি – পদার্থবিজ্ঞান – দ্বিতীয় অধ্যায়: গতি (তাত্ত্বিক অংশ)নবম-দশম শ্রেণি – পদার্থবিজ্ঞান – তৃতীয় অধ্যায়: বল >>

Leave a Reply

Your email address will not be published.