সম্ভাবনার হেঁয়ালি, যেখানে সম্ভাব্যতা ৫০-৫০ নয়

ধরা যাক আপনি একটা গেম শো-তে আছেন, যেখানে আপনার সামনে তিনটি দরজা রয়েছে, যার একটির পেছনে রয়েছে একটি আকর্ষণীয় উপহার, অন্য দুটির পেছনে কিছু নেই। উপস্থাপক জানেন কোন দরজার পেছনে উপহার রয়েছে, কিন্তু আপনি জানেন না। আপনাকে একটি দরজা নির্বাচন করতে বলা হলো। ধরা যাক আপনি প্রথম দরজাটি নির্বাচন করলেন। উপস্থাপক তখন তৃতীয় দরজাটি খুলে দেখিয়ে দিলেন তার পেছনে কিছু নেই এবং আপনাকে সুযোগ দিলেন, আপনি চাইলে প্রথম দরজাতে স্থির থাকতে পারেন, অথবা দ্বিতীয় দরজাতে সুইচ করতে পারেন। এই পরিস্থিতিতে আপনার কি সুইচ করা উচিৎ?

মন্টি হল সমস্যাটা অনেকটা এরকম, যা কিছুটা অনুপ্রাণিত হয়েছে আমেরিকান টেলিভিশন গেম শো “Let’s Make a Deal” থেকে, এবং এর নামকরণ করা হয়েছে অনুষ্ঠানটির মূল উপস্থাপক মন্টি হলের নামে। ১৯৭৫ সালে আমেরিকান স্ট্যাটিস্টিশিয়ান-এর কাছে পাঠানো একটি চিঠিতে এই হেঁয়ালি উপস্থাপন ও সমাধান করেছিলেন স্টিভ সেলভিন। প্যারেড ম্যাগাজিনের একজন পাঠকের প্রশ্নের বিবৃতিতে সমস্যাটা জনপ্রিয় হয়েছে, প্রশ্নটা ছিলো এরকম:

Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, “Do you want to pick door No. 2?” Is it to your advantage to switch your choice?

আমাদের প্রেক্ষিতে ছাগল পাওয়াটাও মন্দ নয়, তাই আমাদের আলোচনায় ধরে নেয়া যাক বাকি দুটো দরজাতে আপনি কিছুই পাবেন না। এখন প্রশ্নের দিকে ফিরে আসি, তৃতীয় দরজাতে কিছু নেই জানার পর আপনার কি প্রথম দরজাতে স্থির থাকা উচিৎ, নাকি দ্বিতীয় দরজাতে সুইচ করা উচিৎ?

আপনি ভাবতে পারেন, তৃতীয় দরজায় না থাকলে প্রথম ও দ্বিতীয় দুটো দরজাতে উপহার থাকার সম্ভাবনা ৫০-৫০, এখানে দুটোই সমান। কিন্তু আসলেই কী?

উত্তর হলো, না। আপনি যখন শুরুতে তিনটা দরজার মধ্যে একটি নির্বাচন করেছিলেন, তখন প্রতিটিতে উপহার পাওয়ার সম্ভাবনা সমান ছিলো এক-তৃতীয়াংশ, ⅓। আপনি যখন ১ নং দরজাটি বেছে নিলেন, তখন আপনার চয়েস সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা ⅓, আর ভুল হওয়ার সম্ভাবনা তথা ২য় বা ৩য় দরজার কোন একটিতে থাকার সম্ভাবনা ⅔।

যখন তিনি দেখিয়ে দিলেন ৩য় দরজার পেছনে কিছু নেই, তাহলে এখন ২য় অথবা ৩য় দরজার ⅔ সম্ভাবনার সম্পূর্ণ চলে আসবে ২য় দরজাতে, ১ম দরজার সম্ভাবনা ⅓ থাকবে আগের মতই। অর্থাৎ, ২য় দরজা নির্বাচন করলে আপনার উপহার জেতার সম্ভাবনা ৬৬.৬৭%, আর ১ম দরজাতে ৩৩.৩৩%।

দুর্বোধ্য মনে হচ্ছে? আপনাকে মনে রাখতে হবে, উপস্থাপক আগে থেকে জানতেন কোন দরজার পিছে পুরস্কার আছে। ২য় বা ৩য় দরজার কোনটিতে যদি পুরস্কার থাকে, তিনি সেটিই খুলবেন যেটিতে উপহার নেই। তাই ২য় আর ৩য় দরজার সম্মিলিত সম্ভাবনা ৬৬.৬৭% কিন্তু পরিবর্তন হচ্ছে না।

দরজার সংখ্যা বাড়ালে সমস্যাটা বোঝা আরো সহজ। মনে করুন ১০০টি দরজার মধ্যে একটি আপনাকে বেছে নিতে বলা হয়েছে। আপনি ৩য় দরজাটি নির্বাচন করলেন। এখন উপস্থাপক আপনাকে বললেন ৩য় অথবা ৭২তম দরজার মধ্যে যেকোন একটিতে পুরস্কার রয়েছে। তাহলে আপনার এখন কোনটি চয়েস করা উচিৎ?

৩য় দরজাটি নেহায়েত আপনার জন্য র‌্যান্ডম একটা চয়েস ছিলো, অর্থাৎ মাত্র ১% সম্ভাবনা এই দরজার পেছনে থাকার, না থাকার সম্ভাবনা-ই ৯৯%। যখন বাকি ৯৯টি দরজা থেকে উপস্থাপক ১টি দরজা বেঁধে দিলেন, তখন ৯৯% সম্ভাবনা-ই হবে সেই দরজাতে থাকার, আর ১% সম্ভাবনা আপনার নির্বাচিত দরজাতে থাকার।

আরো পরিষ্কার করার জন্য, উপস্থাপক যদি না জানতেন ৩টি দরজার কোন দরজার পেছনে পুরস্কারটি আছে, র‌্যান্ডমলি কোন একটা দরজা খুলে দেখতেন তার পেছনে নেই, সেক্ষেত্রে বাকি দুটো দরজার সম্ভাবনা সমান হত। কিন্তু মনে রাখতে হবে, এখানে তিনি জানতেন।

অর্থাৎ মন্টি হল সমস্যার সমাধান হলো, গাণিতিকভাবে আপনি এডভান্টেজ পাবেন যদি দ্বিতীয় সুযোগে আপনার চয়েস পরিবর্তন করেন। অবশ্য এরপর যদি ⅓ সম্ভাবনা-ই বাস্তবায়িত হয়, তাহলে ঠিক থেকে ভুল চয়েসে আসার জন্য আপনার আফসোস বোধ হতেই পারে!…

ঠিক একই রকম হেঁয়ালি দেখা যায় তিন কয়েদির সমস্যাতে। সমস্যাটা এরকম:

A, B ও C তিনজন কয়েদি- যাদের তিনজনের মৃত্যুদন্ড হয়েছে, কিন্তু গভর্নর র‌্যান্ডমলি একজনকে ক্ষমা করেছেন। কারারক্ষী জানেন তিনি কে, কিন্তু কয়েদিদের কাছে এটা বলা নিষিদ্ধ। A খুব করে তাকে অনুরোধ করলো ক্ষমা কে পেয়েছে জানাতে, কিন্তু কারারক্ষী নিষেধাজ্ঞা ভাঙতে পারছে না। তাই A বললো, “যদি B ক্ষমা পায় তাহলে আমাকে C বলবে, যদি B ক্ষমা পায় তাহলে বলবে C। আর যদি আমি A ক্ষমা পাই, তাহলে গোপনে একটা কয়েন টস করে B অথবা C যার নাম আসবে তার নাম বলবে।”

কারারক্ষী মেনে নিলো এবং A-কে যার নাম বললো সে হলো B। A খুব খুশি, কারণ তার বাঁচার সম্ভাবনা এক-তৃতীয়াংশ থেকে এখন ৫০% হয়ে গেছে। কিন্তু কারারক্ষী যখন C-কে এই ঘটনা জানালো, C বললো A-এর সম্ভাবনা এখনও এক-তৃতীয়াংশ-ই আছে, কিন্তু C নিজে খুশি হলো, কারণ তার বাঁচার সম্ভাবনা এখন দুই-তৃতীয়াংশ।

এখানেও আসলে এক-ই ঘটনা। কারারক্ষী যার নাম বলবে, সে বাদে বাকি দুজনের একজন ক্ষমা পাবে এটা ঠিক। কিন্তু A-এর শর্তানুযায়ী, কারারক্ষীকে অবশ্যই B অথবা C-এর কারো নাম বলতে হবে, কাজেই এজন্য A-এর মুক্তির সম্ভাবনা এক-তৃতীয়াংশ থেকে বৃদ্ধি পাওয়ার কোন কারণ নেই। কিন্তু কারারক্ষী যখন B-এর নাম বলছে তখন C-এর মুক্তির সম্ভাবনা দুই-তৃতীয়াংশ হচ্ছে যেহেতু B ও C এর যেকোন একজনের মুক্তির সম্ভাবনা দুই-তৃতীয়াংশ ছিলো এবং B এর নাম বলায় B এর মৃত্যুদন্ড নিশ্চিত।

রেফারেন্স ও সহায়তা

১. Wikipedia – Monty Hall problem
২. Wikipedia – Three Prisoners problem
৩. YouTube: Vsauce2 – The Easiest Problem Everyone Gets Wrong
৪. Youtube: D!NG – The Monty Hall Problem