মন্টি হল সমস্যা
আপনি একটা গেম শো-তে আছেন। আপনার সামনে তিনটি দরজা আছে। একটা দরজার পেছনে রয়েছে একটি আকর্ষণীয় উপহার, অন্য দুটির পেছনে কিছু নেই। উপস্থাপক জানেন কোন দরজার পেছনে উপহার রয়েছে, কিন্তু আপনি জানেন না। আপনাকে একটি দরজা নির্বাচন করতে বলা হলো।
ধরা যাক আপনি প্রথম দরজাটি নির্বাচন করলেন। উপস্থাপক তখন প্রথমে তৃতীয় দরজাটি খুলে দেখিয়ে দিলেন তার পেছনে কিছু নেই। তারপর আপনাকে সুযোগ দিলেন, আপনি চাইলে প্রথম দরজাতেই স্থির থাকতে পারেন, অথবা দ্বিতীয় দরজাতেও সুইচ করতে পারেন।
প্রশ্ন হলো, প্রথম দরজাতে স্থির থাকা আর দ্বিতীয় দরজাতে সুইচ করা- এই দুটোর মধ্যে কোন অপশনটা বেটার?
এই সমস্যাটাকে বলা হয় মন্টি হল সমস্যা। আমেরিকান টেলিভিশন গেম শো “Let’s Make a Deal” থেকে এটার অনুপ্রাণিত হয়েছে, এবং এর নামকরণ করা হয়েছে অনুষ্ঠানটির মূল উপস্থাপক মন্টি হলের নামে।
সাধারণভাবে আপনি ভাবতে পারেন, তৃতীয় দরজায় না থাকলে প্রথম ও দ্বিতীয় দুটো দরজাতে উপহার থাকার সম্ভাবনা ৫০-৫০। তাহলে প্রথম বা দ্বিতীয় দরজা- দুটোই সমান, তাই না? উমম, নাহ! এখানেই এই সম্ভাবনার হেঁয়ালি।
আপনি যখন শুরুতে তিনটা দরজার মধ্যে একটি নির্বাচন করেছিলেন, তখন প্রতিটিতে উপহার পাওয়ার সম্ভাবনা সমান ছিলো এক-তৃতীয়াংশ, ⅓। আপনি যখন ১ নং দরজাটি বেছে নিলেন, তখন আপনার চয়েস সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা ⅓, আর ভুল হওয়ার সম্ভাবনা তথা ২য় বা ৩য় দরজার কোন একটিতে থাকার সম্ভাবনা ⅔।
যখন তিনি দেখিয়ে দিলেন ৩য় দরজার পেছনে কিছু নেই, তাহলে এখন ২য় অথবা ৩য় দরজার ⅔ সম্ভাবনার সম্পূর্ণ চলে আসবে ২য় দরজাতে, ১ম দরজার সম্ভাবনা ⅓ থাকবে আগের মতই। অর্থাৎ, ২য় দরজা নির্বাচন করলে আপনার উপহার জেতার সম্ভাবনা ৬৬.৬৭%, আর ১ম দরজাতে ৩৩.৩৩%।
দুর্বোধ্য মনে হচ্ছে? আপনাকে মনে রাখতে হবে, উপস্থাপক আগে থেকে জানতেন কোন দরজার পিছে পুরস্কার আছে। যদি ১ম দরজার পেছনে পুরষ্কার থাকে, তাহলে তিনি ২য় বা ৩য় দরজা যেকোনটাই খুলে দেখাতে পারেন। কিন্তু, যদি ২য় বা ৩য় দরজার কোনটিতে পুরস্কার থাকে, তিনি সেটিই খুলবেন যেটিতে উপহার নেই। যেকারণে এই দুটো দরজার যেকোন একটার পেছনে থাকলে সেটা হবে বাকি যে দরজা থাকবে, সেটা।
দরজার সংখ্যা বাড়ালে সমস্যাটা বোঝা আরো সহজ। মনে করুন ১০০টি দরজার মধ্যে একটি আপনাকে বেছে নিতে বলা হয়েছে। আপনি ৩য় দরজাটি নির্বাচন করলেন। এখন উপস্থাপক আপনাকে বাকি ৯৮টা দরজা খুলে দেখালেন, শুধু ৭২তম দরজা বাকি রাখলেন। তাহলে আপনার এখন কোন দরজা চয়েস করা উচিৎ- ৩য় নাকি ৭২তম?
৩য় দরজাটি নেহায়েত আপনার জন্য র্যান্ডম একটা চয়েস ছিলো, অর্থাৎ মাত্র ১% সম্ভাবনা এই দরজার পেছনে থাকার, না থাকার সম্ভাবনা-ই ৯৯%। যখন বাকি ৯৯টি দরজা থেকে উপস্থাপক ১টি দরজা বেঁধে দিলেন, তখন ৯৯% সম্ভাবনা-ই হবে সেই দরজাতে থাকার, আর ১% সম্ভাবনা আপনার নির্বাচিত দরজাতে থাকার।
আরো পরিষ্কার করার জন্য, উপস্থাপক যদি না জানতেন ৩টি দরজার কোন দরজার পেছনে পুরস্কারটি আছে, র্যান্ডমলি কোন একটা দরজা খুলে দেখতেন তার পেছনে নেই, সেক্ষেত্রে বাকি দুটো দরজার সম্ভাবনা সমান হত। কিন্তু মনে রাখতে হবে, এখানে তিনি জানতেন।
অর্থাৎ মন্টি হল সমস্যার সমাধান হলো, গাণিতিকভাবে আপনি এডভান্টেজ পাবেন যদি দ্বিতীয় সুযোগে আপনার চয়েস পরিবর্তন করেন। অবশ্য এরপর যদি ⅓ সম্ভাবনা-ই বাস্তবায়িত হয়, তাহলে ঠিক থেকে ভুল চয়েসে আসার জন্য আপনার আফসোস বোধ হতেই পারে!…
তিন কয়েদি সমস্যা
ঠিক একই রকম হেঁয়ালি দেখা যায় তিন কয়েদির সমস্যাতে। সমস্যাটা এরকম:
A, B ও C তিনজন কয়েদি- যাদের তিনজনের মৃত্যুদন্ড হয়েছে, কিন্তু গভর্নর র্যান্ডমলি একজনকে ক্ষমা করেছেন। কারারক্ষী জানেন তিনি কে, কিন্তু কয়েদিদের কাছে এটা বলা নিষিদ্ধ। A খুব করে তাকে অনুরোধ করলো ক্ষমা কে পেয়েছে জানাতে, কিন্তু কারারক্ষী নিষেধাজ্ঞা ভাঙতে পারছে না।
সবশেষে A বললো, “যাদের মৃত্যুদন্ড হবে, তাদের অন্তত একজনের নাম বলো। B ক্ষমা পেলে C-এর নাম বলো, C ক্ষমা পেলে B এর নাম বলো। আর যদি আমি A ক্ষমা পাই, তাহলে একটা কয়েন টস করে B আর C যার নাম আসে, তার নাম বলো।”
কারারক্ষী শেষ পর্যন্ত রাজি হলো এবং A-কে যার নাম বললো, সে হলো B।
A খুব খুশি, কারণ B-এর যেহেতু মৃত্যুদন্ড হচ্ছে- A আর C এর একজন ক্ষমা পাচ্ছে। তাহলে তার বাঁচার সম্ভাবনা এক-তৃতীয়াংশ থেকে এখন ৫০% হয়ে গেছে।
কিন্তু কারারক্ষী যখন C-কে এই ঘটনা জানালো, C বললো A-এর সম্ভাবনা এখনও এক-তৃতীয়াংশ-ই আছে, কিন্তু C নিজে খুশি হলো, কারণ তার বাঁচার সম্ভাবনা এখন দুই-তৃতীয়াংশ।
এখানেও আসলে এক-ই ঘটনা। A শর্ত এমনভাবে দিয়েছে, যাতে কারাক্ষীকে B অথবা C-এর মধ্যে কারো নাম বলতে হবে। এতে A মৃত্যুদন্ডপ্রাপ্ত দুজনের মধ্যে একজনের নাম জানবে, কিন্তু তার নিজের মুক্তির সম্ভাবনা এক-তৃতীয়াংশই থাকবে, সেখান থেকে বেড়ে যাওয়ার কোন কারণ নেই।
কিন্তু কারারক্ষী যখন B-এর নাম বলছে তখন C-এর মুক্তির সম্ভাবনা দুই-তৃতীয়াংশ হচ্ছে যেহেতু B ও C এর যেকোন একজনের মুক্তির সম্ভাবনা দুই-তৃতীয়াংশ ছিলো এবং B এর নাম বলায় B এর মৃত্যুদন্ড নিশ্চিত।
রেফারেন্স ও সহায়তা
১. Wikipedia – Monty Hall problem
২. Wikipedia – Three Prisoners problem
৩. YouTube: Vsauce2 – The Easiest Problem Everyone Gets Wrong
৪. Youtube: D!NG – The Monty Hall Problem
