নরমাল

গণিতের মধ্যে সম্ভাবনার টপিক পড়তে গেলে বেশ ইন্টেরেস্টিং কিছু ব্যাপার দেখা যাবে। প্রকৃতির বিভিন্ন ঘটনা- যেমন কোন গাছের পাতাগুলোর আকার, কিংবা বিভিন্ন মানুষের উচ্চতা, ওজন, আইকিউ থেকে শুরু করে কোন পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর কিংবা বিভিন্ন নক্ষত্রের উজ্জলতাসহ এরকম ঘটনাগুলোতে পরিমাপ করা অনেক সংখ্যক মান নিয়ে তাদের বিন্যাসের (distribution) গ্রাফ যদি অঙ্কন করা হয় (এই গ্রাফকে হিস্টোগ্রাম বলে), তাহলে প্রায়সই দেখা যাবে কমবেশি এরকম একটা কার্ভ পাওয়া যাচ্ছে:

ক্রেডিট: Ainali – উইকিমিডিয়া

এই কার্ভের বিশেষ কিছু বৈশিষ্ট্য আছে। যেমন ঠিক মধ্যখানে এর মান সবচেয়ে বেশি, যেখান থেকে দু’দিকে এটা সিমেট্রিকাল এবং এর আকৃতি বেল বা ঘন্টার মত। প্রথম স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনে (ওপরের গ্রাফে μ-σ থেকে μ+σ অঞ্চলে) প্রায় ৬৮.২% মান আছে। এরপর দ্বিতীয় স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনে প্রায় ২৭.২% মান, পরবর্তী স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনে ২.১% মান এভাবে ক্রমাগত ডেনসিটি কমছে।

এই বৈশিষ্ট্যগুলোসহ কার্ভকে নরমাল কার্ভ বা গসিয়ান কার্ভ (Gaussian curve) বলে। যে ডিস্ট্রিবিউশনগুলোর হিস্টোগ্রামে এই কার্ভ পাওয়া যায়, তাদেরকে নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন বা গসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন বলে। সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম অনুযায়ী কিছু শর্ত উপস্থিত থাকলে র‌্যান্ডম কোন ঘটনার যত বেশি মান নিয়ে কাজ করা হবে, হিস্টোগ্রাম তত বেশি নরমাল কার্ভের মত হতে থাকবে।

আমার ইচ্ছা ছিলো গাণিতিক আলোচনা একবারেই না আনা, তবে একটু কনটেক্সট প্রয়োজন ছিলো। এখন আর কোন গণিতের কথা হবে না, এখন আমরা কয়েন টস করব।

সত্যি বলতে ভিডিও করা গেলে ভালো হত, তবে মানসম্পন্ন ভিডিও কনটেন্ট তৈরির মত প্রয়োজনীয় দক্ষতা ও রিসোর্স না থাকাতে ভিডিও করতে পারছি না। তবে আমাকে বিশ্বাস করে নিন, প্রতিটা টস লেখার সময়ে আমি বাস্তবেই করব, এবং এখানে আমার দিক থেকে অন্তত ইচ্ছাকৃত কোন পক্ষপাতীত্ব থাকবে না। এবং এই লাইন লেখার সময় পর্যন্ত আমার নিজেরও জানা নেই পরবর্তী ফলাফলগুলো কী হবে।

এবং আমি এখন যখন লিখছি, আমার হাতে আছে ১৯৯৬ সালের একটা ৫ টাকার কয়েন, যার একদিকে আছে যমুনা সেতু, অন্যদিকে আছে শাপলা ফুল। তো আমি প্রথম টসটি করছি- দুটো সম্ভাব্য ফলাফল হতে পারে- যমুনা অথবা শাপলা, দেখা যাক কোনটি হয়। ওকে, তো প্রথম টসে আমরা শাপলা পেয়েছি।

এখন আমার প্রশ্ন হলো, আমি যদি ২০ বার টস করি, তাহলে আমি কতবার শাপলা পাবো? এটা ০ থেকে ২০ পর্যন্ত যেকোন সংখ্যকবার হতে পারে। কিন্তু গণিত কি আমাকে কিছুটা ধারণা করতে সাহায্য করতে পারে? চলুন দেখি কী হয়।

এখন থেকে আমি শাপলা ফুল বোঝাতে S এবং যমুনা সেতু বোঝাতে J ব্যবহার করব। তো আমাদের ২০ বার টসের রেজাল্ট আমি পর্যায়ক্রমে লিখছি- J, J, J, J, J, S, S, S, S, J, J, J, J, J, S, S, S, J, S, S।

এটা আমার জন্যও ততটাই আনএক্সপেক্টেড যতটা আপনার জন্য। আবারো, কোন ইচ্ছাকৃত পক্ষপাতীত্ব নেই এখানে- দু’বার পরপর 5 বার J আসা, কিংবা S পরপর যথাক্রমে ৪ বার, ৩ বার আর ২ বার আসা, এটা আসলেই র‌্যান্ডমলি হয়েছে। যাইহোক আমরা মোট ৯ বার S তথা শাপলা পেয়েছি।

চলুন, পুনরাবৃত্তি করি। দ্বিতীয়বার ২০ বার টস করার ফলাফল- S, J, S, J, J, J, J, J, S, J, J, J, S, S, S, S, S, J, J, J। এবার আমরা পেলাম ৮টি শাপলা।

তো আমি আসলে ২০ বার করে কয়েন টসের এই এক্সপেরিমেন্ট ২০ বার করতে চাচ্ছি, মানে ইতোমধ্যে আমি ৪১ বার টস করেছি, আরো ৩৬০ বার টস করতে হবে। ফলাফলগুলো সুবিধার জন্য টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন করছি।

পর্যবেক্ষণ সংখ্যা	ফলাফল	S এর সংখ্যা	J এর সংখ্যা
১	J, J, J, J, J, S, S, S, S, J, J, J, J, J, S, S, S, J, S, S	৯	১১
২	S, J, S, J, J, J, J, J, S, J, J, J, S, S, S, S, S, J, J, J	৮	১২
৩	J, S, J, J, J, S, S, S, S, S, S, J, J, S, S, J, J, J, J, J	৯	১১
৪	S, S, J, S, S, S, J, S, J, J, J, S, S, J, S, S, S, J, S, S	১৩	৭
৫	S, S, J, J, J, J, J, J, J, S, S, S, S, J, J, J, J, J, J, J	৬	১৪
৬	S, J, J, J, J, J, S, J, S, J, S, J, S, S, J, J, S, J, S, J	৮	১২
৭	S, S, S, J, J, S, J, S, J, S, S, J, J, J, J, J, S, J, S, J	৯	১১
৮	J, J, S, S, S, J, S, J, J, J, S, J, S, S, S, S, J, S, J, S	১১	৯
৯	S, S, J, J, S, J, J, J, J, S, J, J, S, S, S, J, J, J, S, J	৮	১২
১০	J, J, J, J, S, S, J, S, S, J, J, J, J, S, J, J, S, J, S, J	৭	১৩
১১	S, J, S, J, J, J, S, J, S, J, J, S, S, S, S, J, S, J, S, J	১০	১০
১২	J, J, J, S, J, S, S, S, S, S, S, S, J, S, J, J, J, S, S, S	১২	৮
১৩	J, J, S, J, J, S, J, S, S, J, J, S, S, S, S, J, S, S, S, S	১২	৮
১৪	J, J, J, J, S, J, J, J, S, J, J, J, J, S, S, J, J, S, S, J	৬	১৪
১৫	S, J, J, J, S, S, S, S, J, J, S, S, S, S, J, S, S, S, J, S	১৩	৭
১৬	S, S, S, S, J, S, S, J, S, S, S, S, J, S, S, S, J, S, S, J	১৫	৫
১৭	S, S, J, S, S, J, J, J, J, S, J, S, J, S, J, S, S, J, S, S	১১	৯
১৮	S, J, J, S, J, J, S, J, S, S, J, J, S, S, J, J, S, J, S, S	১০	১০
১৯	J, S, J, J, S, J, S, S, J, J, S, S, S, J, S, S, J, J, S, J	১০	১০
২০	S, S, J, J, S, S ,S, S, J, S, J, J, S, J, S, J, S, J, J, S	১১	৯

তো, ওকে, আমাদের ২০ বার করে টসের ২০ বার পর্যবেক্ষণ শেষে সর্বমোট ১৯৮ বার শাপলা ফুল এবং ২০২ বার যমুনা সেতু পেয়েছি। এখন আমরা আরেকটি টেবিল বানাচ্ছি যেখানে বিভিন্ন ফলাফল কতবার করে পাওয়া গেছে দেখানো হচ্ছে।

শাপলা ফুলের সংখ্যা

০

১

২

৩

৪

৫

৬

৭

৮

৯

১০

১১

১২

১৩

১৪

১৫

১৬

১৭

১৮

১৯

২০

প্রাপ্ত বার

০

২

১

৩

২

০

১

০

যমুনা সেতুর সংখ্যা

২০

১৯

১৮

১৭

১৬

১৫

১৪

১৩

১২

১১

১০

৯

৮

৭

৬

৫

৪

৩

২

১

০

আমরা এখান থেকে প্লট তৈরি করতে পারি। আমরা শাপলা ফুল পাওয়ার জন্য প্লটগুলো তৈরি করছি।

প্রাপ্তির সংখ্যাগুলো যদি মোট পর্যবেক্ষণের সাপেক্ষে ১ এর অনুপাতে প্রকাশ করি, তাহলে-

এটাই আমাদের এক্সপেরিমেন্টের হিস্টোগ্রাম। এবং যখন ২০ বার কয়েন টসের ২০ বার পর্যবেক্ষণ সংখ্যার বিচারে যথেষ্ট না- তবে যেহেতু আরো বেশি টস করা সময়সাপেক্ষ আর ক্লান্তিকর হবে, আমি এটুকুই রাখছি। যাইহোক, একটা বিষয় স্পষ্ট যে বেশিরভাগ পর্যবেক্ষণে যমুনা বা শাপলা ফুলের সংখ্যা পাওয়া গেছে ০ থেকে ২০ এর মধ্যবর্তী মান, অর্থাৎ ১০ এর আশেপাশে থেকেছে।

যদি আমরা আরো প্রতি পর্যবেক্ষণে আরো বেশি বার টস করতাম, এবং আরো বেশি সংখ্যক পর্যবেক্ষণ নিতাম, তবে নরমাল কার্ভের আরো কাছাকাছি কার্ভ পেতে পারতাম। ২০ বার কয়েন টসের পরীক্ষণ যদি বারংবার পুনরাবৃত্তি করা হয়, তাহলে এক্সপেক্টেড কার্ভ হবে এরকম-

আমরা শুরুতে যে বেল শেপ কার্ভটি দেখেছিলাম, তার খুব কাছাকাছি। আমাদের পরীক্ষণে প্রাপ্ত কার্ভ, আর এই এক্সপেক্টেড কার্ভ যদি একসাথে কম্পেয়ার করি,

এই লেখা শুরু করার আগে আমি নিশ্চিত ছিলাম না সবশেষে ঠিক কতটা কাছাকাছি গ্রাফ পেতে পারি, বিশেষ করে যেহেতু পর্যবেক্ষণ সংখ্যা কম। কিন্তু মাত্র ২০ বারের পর্যবেক্ষণেই কিন্তু দেখা যাচ্ছে এটা অনেকটাই নরমাল কার্ভকে বিন্যাসকে ফলো করছে।

বলে রাখা ভালো যে এক্সাক্ট গসিয়ান কার্ভ বা নরমাল কার্ভ কন্টিনিউয়াস র‌্যান্ডম ভ্যারিয়েবলের জন্য। কয়েন টসের পরীক্ষণ যেহেতু ডিসক্রিট ভ্যারিয়েবল, এখানে অ্যাপ্রোক্সিমেশন পাওয়া যাবে নরমাল কার্ভ থেকে। যত বেশি সংখ্যক স্যাম্পল নিয়ে কাজ করা হবে, অ্যাপ্রোক্সিমেশন তত বেটার হবে।

তো এখনকার মত শেষ করছি এখানে। কমেন্টে আপনার অভিমত, পরামর্শ বা সংযোজনকে সবসময়ই স্বাগত জানাবো আমাদের পক্ষ থেকে। আর ভালো লাগলে শেয়ার করার অনুরোধ থাকবে।

(প্লটগুলো MATLAB-এ তৈরি করা হয়েছে)